USACO Section 1.4.1 [Packing Rectangles] Java题解

题意分析：
给出4个长方形的高和长，以及给出6种基本布局，求合成无重叠的最小面积时的长和宽。

解题思路：
这一题比较容易成为被卡住的第一题。

【首先】使用贪心的念头不要有，必须老老实实地将所有情况列出，那到底有多少情况呢？
1.六种基本布局中，第四种与第五种实则为一种，布局为5种。
2.在每种布局中，由于长方形摆放的位置不同，有4的阶乘种。
3.不同布局，不同摆放位置的每个长方形都有横竖两种摆法，有2的4次方种。
综上：共有 5 × 4! × 2^4 = 1920种。

【其次】要回忆一下回溯法。
在S1×S2×S3×…×Sn中，求解向量X=（x1,x2,x3…xn）。
算法描述：

1.令解向量X={}
2.flag=false;
3.advance(1)
4.if(flag) 输出解X 
5.else 输出无解

advance(int t)：
    对每一个x属于St循环执行：
        X[t] = x; //将xt加入X
        if（X是最终解）flag=true; return;
        else if（X是部分解）advance(t+1);  //搜索下一层
        else（X不是最终解也不是部分解）continue;

子集树和排列树为常见的两种解空间树。
子集树：遍历子集树需要O（n^2）的时间

void backtrack (int t){
    if (t>n) output(X); // X是最终解
    else{
        X[t]=true;
        if (legal(t)) backtrack (t+1); // X是部分解
        X[t]= false;
        if (legal(t)) backtrack (t+1); // X是部分解
    }
}

排列树：遍历排列树需要O（n!）的时间

void backtrack  (int t)
{
    if (t>n) output(X);  // X是最终解
    else
        for (int i=t;i<=n;i++) {
        swap(x[t], x[i]);
        if (legal(t)) backtrack(t+1); // X是部分解
        swap(x[t], x[i]);
    }
} 

回溯法backtracking经常会和术语深度优先遍历DFS(Depth First Search）混用，它们有什么差别呢？
非要深究的话，深度优先搜索是一种遍历真实存在的图或树的方法。而回溯法则是遍历整个问题空间寻找一个解决方案。回溯法是一个更通用的算法，问题本身并不一定与树相关。

【最后】在于每种布局的情况讨论，（这里的h与w，h不一定大于w，反之亦然）

//1: 
int width = w1 + w2 + w3 + w4;
int height = max(max(h1, h2),max(h3, h4));
//2:
height = w1 + max(max(h2, h3),h4);
width = max(h1, w2 + w3 + w4);
a[1] = new Rectangle(width, height);
//3:
height = max(h1, w2 + max(h3, h4));
width = w1 + max(h2, w3 + w4);
a[2] = new Rectangle(width, height);
//4,5:
width = max(w2,w4) + w1 + w3;
height= max(max(h1, h3),h2 + h4);
//6:
height = max(h1+h3, h2+h4);

第六种情况的width则要进一步分情况讨论：

if(h3 >= h2 + h4)
    width = max(w1, max(w3+w2,w3+w4));
else if (h3 > h4 && h3 < h2+h4)
    width = max(max(w1+w2, w2+w3),w3+w4);
else if( h3 < h4 && h4 < h1+h3)
    width = max(max(w1+w2, w1+w4), w3+w4);
else if (h4 >=h1+h3)
    width = max(max(w1+w4, w3+w4), w2);
else // h4 == h3
    width = max(w1+w2, w3+w4);

代码实现：
https://github.com/leonlu/USACOJavaSolution/blob/master/USACOSection1/src/packrec.java